1. Lokale Gruppe¶

Galaxiengruppen und -haufen sind lokale Massenkonzentrationen, innerhalb derer die Eigenbewegungder Galaxien gegenüber der gleichmäßigen Hubble-Expansion überwiegt. Die Masse der lokalen Gruppe (sichtbare und dunkle Materie) beträgt etwa $M_\mathrm{LG}=3\cdot10^{12}M_\odot$.

Welche sind die drei größten Galaxien in der Lokalen Gruppe? Recherchiere wie groß ihre Masse (inkl. DM) zusammen beträgt.¶

• Milchstraße
• M31 (Andromeda-Galaxie)
• M33

Alle drei sind Spiralgalaxien - typisch für eine Gruppe ggn. einem Haufen.

Recherche über Wikipedia bringt dich auf Paper von Cobrelli 2003, Kafle et al. 2018 und Kafle et al. 2014. Die Massen der Milchstraße und Andromeda sind ähnlich (ca. $8\cdot 10^{11}M_\odot$), M33 ist etwas kleiner (ca. $5\cdot 10^{10}M_\odot$). Es finden sich also über zwei Drittel der Gesamtmasse der Lokalen Gruppe in diesen Galaxien, anderen Schätzungen der Gesamtmasse zufolge sogar noch mehr.

Wie weit reicht der Gravitationseinfluß unserer lokalen Galaxiengruppe? Schätze dazu grob ab, bei welcher Entfernung die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Expansionsgeschwindigkeit gemäß des linearen Hubble-Gesetzes ist.¶

Die Hubble-Konstante kann dabei mit $H_0=70$ km/s/Mpc angenommen werden.

Für die Fluchtgeschwindigkeit kennen wir aus früheren Übungen

$v_{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM_\mathrm{LG}}{r}}$

Das lineare Hubble-Gesetz lautet:

$v_{exp} = H_0 \cdot r$

Gleichsetzen der beiden Geschwindigkeiten ergibt nun:

$v_{exp} = v_{esc}$

$H_0 \cdot r = \sqrt{\dfrac{2GM_\mathrm{LG}}{r}}$

Aufgelöst nach der Entfernung erhalten wir schließlich:

$r = \left(\dfrac{2GM_\mathrm{LG}}{H_0^2}\right)^{1/3}=$

2. Hubble-Konstante und Supernovae Ia¶

Supernovae vom Typ Ia zeichnen sich durch eine sehr ähnliche und besonders hohe absolute Helligkeit von $M\approx-19.3$ im Maximum der Intensität aus und eignen sich daher als Standardkerzen zur kosmologischen Entfernungsbestimmung. In Hamuy et al. (1995) werden die maximalen scheinbaren Helligkeiten von einigen SN Ia aus den 90er Jahren wie folgt tabelliert:

Trage die scheinbare Helligkeit $m_B$ gegen den 10er-Logarithmus von Lichtgeschwindigkeit mal Rotverschiebung $\log_{10}cz$ in Einheiten von km/s in ein Diagramm ein.¶

Diese Art von Darstellung wird auch Supernova-Hubble Diagramm genannt. Welchen kosmologischen Zusammenhang erkennst du qualitativ im Diagramm?¶

$cz$ lässt sich als Fluchtgeschwindigkeit interpretieren, und $m_B$ als Proxy für die Distanz der Supernovae, da sie ja alle in etwa die gleiche absolute Helligkeit besitzen. Die Fluchtgeschwindigkeit steigt mit der der Entfernung: Das ist ein Hinweis auf die Expansion.

Bestimme die Entfernung $D$ in Mpc für die Supernovae in der Tabelle.¶

Aus dem Entfernungsmodul

$\mu = m_B - M = 5 \log_{10}\left(\dfrac{D_l}{10 \text{pc}}\right)$

erhalten wir

$D = 10^{(m_b-M+5)/5}$ pc

Berechne den mittleren Wert für die Hubble-Konstante $H_0$. Welche Näherung kannst du für das Hubble-Gesetz verwenden, und warum?¶

Wir nähern $v\approx cz$. Das wird sofort klar, wenn wir uns $z$ ausrechnen. Die maximale gemessene Rotverschiebung im Datensatz beträgt:

Es gilt also in guter Näherung das lokale Hubble-Gesetz: $H_0 = \dfrac{cz}{D}$

Angewandt auf die Tabelle erhalten wir:

Im Friedmann-Lemaître Universum gilt (siehe auch Aufgabe 3):

$\dot{a}^2 = \dfrac{8\pi G\rho_0}{3}\cdot \dfrac{1}{a} - Kc^2$

Leite aus deinem mittleren Wert für $H_0$ die kritische Dichte eines flachen ($K=0$) Universums in g/cm$^3$ ab.¶

Die kritische Dichte bezeichnet die Dichte des Universums zum heutigen Zeitpunkt. Es gilt also $\rho_0=\rho_{crit}$, $a(0)=1$ und $\dot{a}(0)=H_0$.

Einsetzen und umformulieren nach $\rho_{crit}$ ergibt:

$\dot{a}^2 = \dfrac{8\pi G\rho_0}{3}\cdot \dfrac{1}{a} - Kc^2$

$H_0^2 = \dfrac{8\pi G\rho_{crit}}{3}$

$\rho_{crit} = \dfrac{3H_0^2}{8\pi G} = $

3. In wenigen Schritten zum Weltmodell¶

In dieser Aufgabe erschließen wir uns in wenigen Zeilen Rechnung die Grundlage eines kosmologischen Weltmodells. Ausgehend von der Newtonschen Mechanik, können wir die Friedmann-Lemaître Gleichung herleiten, die bis auf die kosmologische Konstante dem Ergebnis aus der Allgemeinen Relativitätstheorie entspricht.

Betrachten wir das Universum als eine Kugel mit homogener Massenverteilung. Zum heutigen Zeitpunkt $t_0$ sei der Radius des Universums $r_0$ und die Dichte $ρ_0$. Der zeitlich abhängige Radius skaliert mit

$r(t) = a(t) r_0$

$r_0$ wird auch als mitbewegte Koordinate bezeichnet.

Setzen wir uns als Massepunkt $m$ auf den Rand dieser Universumskugel im Radius $r$.

Die totale Masse des Universums sei zeitlich konstant. Zeige, dass $a$ unter dieser Annahme nicht vom Radius $r$ abhängt.¶

Bei konstanter Masse gilt:

$\dfrac{4\pi r(t)^3\rho(t)}{3}=\dfrac{4\pi r_0^3\rho_0}{3}$

Eingesetzt stellen wir fest, dass $a$ nicht von der Größe des Universums abhängt, sondern nur von der Dichte:

$\rho(t) = \dfrac{\rho_0}{a(t)^3}$

Stelle die Newtonsche Bewegungsgleichung für den Massenpunkt $m$ auf.¶

Wegen der Homogenität des Alls wirkt auf $m$ dieselbe Gravitationskraft, wie wenn die gesamte Masse des Universums im Mittelpunkt konzentriert wäre.

Somit gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung:

$m \ddot{r} = -\dfrac{GmM}{r^2} = -\dfrac{Gm4\pi r_0^3\rho_0}{3r^2}$

Finde eine Formulierung deines Ergebnisses in (b), in der der Skalenfaktor $a$ die einzige zeitabhängige Größe darstellt.¶

Setzen wir den Skalenfaktor für $r$ und $\ddot{r}$ ein und kürzen, erhalten wir:

$\ddot{a} = -\dfrac{4\pi G\rho_0}{3a^2}$

Nutze die Kettenregel für Ableitungen, um aus (c) eine Differentialgleichung erster Ordnung zu erhalten.¶

Um die Friedmann-Lemaître-Gleichung zu erhalten, mutipliziere mit $2\dot{a}$:

$2\dot{a}\ddot{a} = -\dfrac{8\pi G\rho_0\dot{a}}{3a^2}$

Das können wir umschreiben als

$\dfrac{\mathrm{d}\dot{a}^2}{\mathrm{d}t} = \dfrac{8\pi G\rho_0}{3}\cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{a}\right)$

Mit der Integration über die Zeit ergibt sich die gesuchte Relation:

$\dot{a}^2 = \dfrac{8\pi G\rho_0}{3}\cdot \dfrac{1}{a} - Kc^2$

Wobei $Kc^2$ erstmal als Integrationskonstante auftaucht.

Dein Ergebnis ist eine Form der Friedmann-Lemaître Gleichung. Darin wird die Integrationskonstante, die in (d) auftaucht, als $Kc^2$ geschrieben. Welche Einheit besitzt $K$?¶

Weil $a$ dimensionslos ist, und $c$ die Lichtgeschwindikgkeit, ergibt sich für die Einheit von $K$:

$\left[1/s^2\right] = \left[m^2/s^2\right]\left[1/m^2\right]$

An dieser Stelle kann man sich fragen, was diese Einheit zu bedeuten hat, und warum $K$ so eingeführt wurde. Erstaunlich ist, dass $Kc^2$ unter Einbezug der Allgemeinen Relativitätstheorie eine physikalische Bedeutung erhält, nämlich als Krümmungsterm.