1. Eddington-Leuchtkraft¶

Die Strahlung, die SMBH ausströmen wird durch die Umwandlung von potentieller Energie gespeist, und nicht durch thermonukleare Prozesse, da letztere nicht effizient genug sind, um die beobachteten Leuchtkräfte zu erklären.

Das Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße besitzt eine Masse $M_{BH} = 2.6 \cdot 10^6 M_\odot$.

Bestimme die maximal mögliche Leuchtkraft des Schwarzen Lochs (sowohl in erg/s als auch in $L_\odot$), wenn es eine Akkretionsscheibe besäße.¶

Die maximale Leuchtkraft ist durch die Eddington-Leuchkraft gegeben (siehe Lehrbuch, 5.23):

$L_\mathrm{edd}=\dfrac{4\pi Gcm_\mathrm{p}}{\sigma_\mathrm{T}}\cdot M_\bullet \approx 1.3 \cdot 10^{38} \left(\dfrac{M_\bullet}{M_\odot}\right)$ erg/s

Einsetzen von $M_{BH}$ ergibt in erg/s und $L_\odot$:

Wie viele Sonnenmassen müsste das Schwarze Loch jährlich akkretieren, um $L_\mathrm{edd}$ zu erreichen?¶

Nimm eine Effizienz $\epsilon=0.1$ an.

Um $L_\mathrm{edd}$ zu erreichen, muss das Schwarze Loch mit der Eddington-Akkretionsrate Masse akkretieren (siehe Lehrbuch 5.27):

$\dot{M}_\mathrm{edd} = \dfrac{L_\mathrm{edd}}{\epsilon c^2}\approx \dfrac{1}{\epsilon}\cdot 2 \cdot 10^{-9} M_\bullet$ 1/yr

Mit gegebener Effizienz und Masse folgt:

Berechne die Zeit $t_2$, die es mindestens brauchen würde, bis das Schwarze Loch seine Masse verdoppelt hat.¶

Da die Wachstumsrate proportional zur Masse ist, haben wir eine Differentialgleichung vor uns, die mit der Exponentialfunktion gelöst werden kann:

$\dot{M}_\mathrm{edd} = \dfrac{L_\mathrm{edd}}{\epsilon c^2} = \dfrac{4\pi Gcm_\mathrm{p}}{\sigma_\mathrm{T}\epsilon c^2}\cdot M_\bullet = \alpha \cdot M_\bullet$

wobei

$\alpha = \dfrac{4\pi Gcm_\mathrm{p}}{\sigma_\mathrm{T}\epsilon c^2} =$

Vereinfacht ausgedrückt:

$\dot{M}(t) = \alpha M(t)$

$M(t) = M_{BH} \mathrm{e}^{\alpha t}$

$M(t_2)=2M_{BH}=M_{BH} \mathrm{e}^{\alpha t_2}$

$t_2 = \dfrac{\ln{2}}{\alpha} = $

2. Olbers-Paradoxon¶

Betrachten wir das euklidische, statische und unendliche Universum: Die Anzahl der Sterne pro Volumeneinheit $n$ in einem solchen Universum ist konstant. Nehmen wir vereinfachend an, dass alle Sterne den Radius $s$ besitzen. Ein solcher Stern mit dem Abstand $R$ von der Erde nimmt für einen Beobachter den Raumwinkel $\alpha=\dfrac{\pi s^2}{R^2}$ auf der Erde ein.

Wie viele Sterne befinden sich in einer Hohlkugel mit den Radien $R$ und $R+\mathrm{d}R$?¶

Die Hohlkugel bildet ein infinitesimales Volumenelement $\mathrm{d}V$, innerhalb dessen die Dichte der Sterne $n$ beträgt:

$n \mathrm{d}V = n \cdot 4\pi R^2 \mathrm{d}R$

Berechne den infinitesimalen Raumwinkel $\mathrm{d}\omega$, den die Sterne in dieser Hohlkugel insgesamt einnehmen.¶

Nimm an, dass sich die Sternradien in der Hohlkugel nicht überlappen.

Jetzt multiplizieren wir also einfach die Zahl der Sterne in der Hohlkugel mit dem Raumwinkel $\alpha$, den sie jeweils darin einnehmen.

$\mathrm{d}\omega = \alpha \cdot n \mathrm{d}V = \dfrac{\pi s^2}{R^2} \cdot n \cdot 4\pi R^2 \mathrm{d}R = 4 \pi^2 n s^2\mathrm{d}R$

Der von Sternen eingenommene Raumwinkel in einer Hohlkugel um die Erde herum hängt also nicht von der Entfernung $R$ ab!

Berechne den Raumwinkel, den die Sterne einnehmen, wenn wir über den gesamten Himmel integrieren. Interpretiere das Ergebnis kosmologisch.¶

Das Universum sei unendlich, also müssen wir $\mathrm{d}\omega$ über alle R von $0$ bis $\infty$ integrieren:

$\displaystyle\int_0^\infty 4 \pi^2 n s^2\mathrm{d}R = \infty$

Das Integral divergiert. Der Himmel wäre also, wenn das Universum euklidisch, statisch und unendlich wäre, vollkommen ausgeleuchtet mit Sternen. Aus jeder Richtung würden wir dann Sternenlicht empfangen, sodass das Entfernungsmodul keine Rolle mehr spielt: Der Himmel würde die Temperatur des Durchschnittssterns annehmen. Das ist in der Beobachtung zum Glück nicht der Fall (der Himmel ist dunkel). Diese Beobachtung ist als Olbers-Paradoxon bekannt.

3. Halbzeit: Vertiefung¶

Hier werde ich, sobald ich die Beiträge durchgelesen habe, eine kurze Übersicht über die von euch gewählten Themen hochladen.