Test

# Die Basics
import numpy as np
import pandas as pd

# Astropy Konstanten und Einheitenrechner
from astropy.constants import M_sun, L_sun, G, sigma_T, m_p, c
import astropy.units as u

# Slider und sowas zum Spielen
from ipywidgets import interact, FloatSlider
from IPython.display import Markdown as md

1. Massiv und kompakt: SMBH¶

Aufgrund der Strahlung, die aus den Zentren von vielen Galaxien entweicht, vermuten Astronom*innen dort ein Supermassives Schwarzes Loch (SMBH), ein sehr kompaktes und massives Objekt.

Aus welcher Beobachtung können wir schlussfolgern, dass es sich bei AGN um kompakte Objekte mit Durchmessern von wenigen hundert Astronomischen Einheiten (AU) handeln muss?¶

Variation der Leuchtkraft von SBMH auf Zeitskalen von Tagen: Wenn die Einzelteile der AGN kausal zusammenhängen (und das sollten sie besser, sonst müssten wir erklären, warum sie sich gleich verhalten, ohne miteinander in Verbindung zu stehen), dann wird Information vom einen Ende des Objekt zum anderen mit höchstens Lichtgeschwindkeit befördert. Das gibt eine obere Schranke auf die Ausdehnung dieser Objekte in der Größenordnung eines Lichttags:

D_SMBH = (1. * u.lyr / 365.25).to("AU") 

D_SMBH

$173.14463 \; \mathrm{AU}$

Das ist etwas größer als die Heliosphäre.

Alternativ könnte man auch darauf verweisen, dass AGNs wie Punktquellen erscheinen, und so auf Ausdehnungen kleiner 100 pc beschränkt sind, aber die oben genannte Schranke ist natürlich stärker.

Berechne die typische Masse eines Neutronensterns in Sonnenmassen und die entsprechende Fluchtgeschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit.¶

Nimm an, dass der maximale Radius eines Neutronensterns 12 km beträgt, und die Dichte $\rho$ etwa $4\cdot 10^{17}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$.

Die Masse ergibt:

$M = \dfrac{4\pi \rho r^3 }{3}$

# Dichte
rho_N = 4e17 * u.kg / u.m**3

# Radius
r_N = 12. * u.km

M_N = (4. * np.pi * rho_N * r_N**3 / 3 / M_sun).decompose()

md(r"Masse eines Neutronensterns $\approx$ "
   f"${M_N:.3f}$" + r"$\,M_\odot$")

Masse eines Neutronensterns $\approx$ $1.456$$\,M_\odot$

Für die relativistische Fluchtgeschwindigkeit gilt:

$v_{esc} = \sqrt{2V - \left(\frac{V}{c}\right)^2}$

wobei $V = \dfrac{GM}{R}$

def v_esc_rel(R, rho=None, M=None):
    """Relativistische Fluchtgeschwindigkeit.
    
    Parameters:
    -----------
    rho : astropy Quantity
        Dichte
    R : astropy Quantity
        Radius
        
    Return:
    -------
    Fluchtgeschwindigkeit
    """
    if M is None:
        M = 4. * np.pi * R**3 / 3 * rho
    pot = G * M / R
    return np.sqrt(2 * pot - (pot / c)**2)

md(r"Fluchtgeschwindigkeit eines Neutronensterns $\approx$ "
   f"${(v_esc_rel(r_N, rho=rho_N)/c).decompose():.3f}\,c$")

Fluchtgeschwindigkeit eines Neutronensterns $\approx$ $0.571\,c$

Wir wissen aus den Orbits um Sgr A* und den beobachteten Leuchtkräften von AGN, dass die Schwarzen Löcher in den Zentren von Galaxien in der Regel sehr massiv sind ($>10^6 M_\odot$).

Erkläre, wie das Phänomen der Superluminal Motion darauf führt, dass AGNs SBMH enthalten.¶

Superluminal Motion: Quellkomponenten von Radiojets in AGNs bewegen sich scheinbar mit Überlichtgeschwindigkeit. Dies ist durch relativistische Effekte zu erklären. Nahe des Zentrums herrschen Entweich-Geschwindigkeiten sehr nahe der Lichtgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeiten von Jets, Winden etc., die von astronomischen Objekten entweichen, sind in der Regel von der Größenordnung der zu diesen Objekten zugehörigen Fluchtgeschwindigkeiten.

Wenn die Fluchtgeschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit ist, dann ist das betreffende Objekt sehr dicht ($\sim \sqrt{\rho}$) oder sehr groß ($\sim r$).

"Sehr groß" können wir mit der Erkenntnis aus (a) ausschließen. Das Objekt muss also sehr dicht sein.

Außerdem muss das Objekt nicht nur dicht, sondern, wie wir durch andere Beobachtungen wissen, auch massiv sein, weswegen ein Neutronenstern nicht infrage kommt.

Die einzigen bekannten Objekte, die zugleich genügend dicht und massiv genug sind, um solche Fluchtgeschwindigkeiten zu erzeugen, sind Schwarze Löcher.

M87, eine elliptische Galaxie in 16.4 Mpc Entfernung, besitzt ein solches berühmtes SMBH. Die Masse des SMBH beträgt $6.5\cdot10^9 M_\odot$. Abbildung 1. zeigt die direkte Umgebung des Schwarzen Lochs im Umkreis weniger Schwarzschild-Radien.

Berechne mit Hilfe der Abbildung 1 die Fluchtgeschwindigkeit aus der direkten Umgebung des schwarzen Lochs.¶

Aus dem Bild können wir eine Ausdehnung von ca. 40$\mu$as abschätzen. Daraus ergibt sich der Radius über das Entfernungsmodul:

# Radius
R_SMBH_M87 = (16.4 * u.Mpc * 20. * u.uas).to("rad * AU") / u.rad
R_SMBH_M87

$328 \; \mathrm{AU}$

# Masse
M_SMBH_M87 = 6.5e9 * M_sun

Wir nutzen wieder die Formel für die relativistische Fluchtgeschwindigkeit:

md(r"Fluchtgeschwindigkeit in der direkten Umgebung des SMBH $\approx$ "
   f"${(v_esc_rel(R_SMBH_M87, M=M_SMBH_M87)/c).decompose():.3f}\,c$")

Fluchtgeschwindigkeit in der direkten Umgebung des SMBH $\approx$ $0.594\,c$

2. Halbzeit: Rückblick¶

Bei dieser Aufgabe gibt es kein richtig oder falsch, entsprechend erhalten alle, die die Aufgabe vollständig und sorgfältig bearbeiten, die entsprechenden Punkte. Inhaltlichen Punktabzug gibt es nur, wenn die Beiträge eindeutig nichts mit den bisherigen Inhalten Vorlesung zu tun haben, und sich auch nicht begründen lassen. Die Aufgabe sollte euch die Gelegenheit bieten, eure eigenen Akzente bei den behandelten Inhalten zu setzen, und eurer Neugier zu folgen.