Im folgenden findest du Python-Code gemischt mit meinen Überlegungen zu den Übungsaufgaben. Das ist keine Musterlösung! Fühl dich ermutigt, einen Blick auf den Code zu werfen, dich durch die Links zu klicken, und diesen Post als Ausgangspunkt für eigene Recherchen zu benutzen.

Wie immer beginnen wir mit der Präambel:

1. Atlas of the Universe¶

Die Website www.atlasoftheuniverse.com gibt uns einen Einblick in das Universum auf einer Reihe von Größenskalen. Sie besteht aus Karten in unterschiedlichen Maßstäben. Unterhalb der Karten finden sich weiterführende Informationen über die dargestellten Objekte.

a) Welcher ist der hellste Stern im Radius von $12.5$ Lichtjahren um die Sonne? Wie groß ist seine scheinbare Helligkeit? Ist es auch der hellste Stern am Nachthimmel? Welche der Sterne innerhalb des genannten Radius können wir mit dem bloßen Auge erkennen?¶

Sirius A ist mit Magnitude $-1.4$ der hellste Stern im Radius von $12.5$ Lichtjahren um die Sonne und zugleich am gesamten Nachthimmel (noch mehr hellste Sterne auf Wikipedia). Sterne mit Magnitude $<6$ können wir mit dem bloßen Augen erkennen, dazu gehören im genannten Radius außer Sirius noch:

- Tau Ceti
- Epsilon Indi
- 61 Cygni
- Procyon 
- Epsilon Eridani
- Alpha Centauri

b) Sterne innerhalb von 20 Lichtjahren: Was fällt dir auf, wenn du die Verteilung der Sterne auf die verschiedenen Sterntypen betrachtest? Was sind Gründe dafür, dass die Anzahl der spätesten Spektraltypen so niedrig ausfällt?¶

Es gibt viel mehr späte Spektraltypen als frühe. Die Physik der Sternentstehung liefert den Grund: Die sogenannte Ursprünliche Massenfunktion (Initial Mass Function, IMF) beschreibt, wie die Masse der kollabierenden Gaswolke in einem Sternentstehungsgebiet auf verschiedene Sternmassen verteilt wird. Es handelt sich um ein Potenzgesetz, demnach es viel mehr Sterne $<1M_\odot$ gibt als $>M_\odot$. Das Gesetz gilt von hohen Massen (mehrere hundert Sonnenmassen) bis runter zu $0.1$ Sonnenmassen. Für noch kleinere Massen bricht diese Beziehung allerdings zusammen. Letzteres trägt dazu bei, dass die Anzahl der spätesten Spektraltypen innerhalb von 20 Lichtjahren so niedrig ausfällt. Ein weiterer Grund ist zudem, dass diese kleinen Sterne, sog. Braune Zwerge, zu leuchtschwach sind, sodass unsere Zählung unvollständig bleibt.

Dazu eine kleine Rechnung:

Absolute bolometrische Magnitude eines späten M-Zwergs ca. $M_\mathrm{bol}=13.5$ mag,die V-Band Magnitude allerdings nur bei etwa $19$ mag, und die K-Band Helligkeit liegt unter $10$ mag. (Eine hilfreiche Tabelle dazu findest du hier).

Das Entfernungsmodul berechnet sich über:

$m = M + 5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{D}{10\mathrm{pc}}\right)$

Daraus ergibt sich für die sichtbare Helligkeit je nach Wert:

Man merkt, dass diese Sterne allgemein sehr leuchtschwach sind, das Maximum ihrer Leuchtkraftfunktion befindet sich im infraroten Licht. Robert et al. (2016) diskutieren weitere Schwierigkeiten bei der Suche nach Braunen Zwergen.

Die bekannteste Ursprünliche Massenfunktion ist im Übrigen die Salpeter-Funktion (Salpeter (1995))

c) Die Hyaden befinden sich 150 Lichtjahre von der Sonne entfernt. Um welche Art von Objekt handelt es sich? Nenne zwei Eigenschaften dieser Objekte.¶

Die Hyaden bilden den uns am nächsten gelegenen Offenen Sternhaufen. Offene Sternhaufen sind meistens jung, leuchten daher eher blau. Sie sind Cluster der Sternentstehung: Die Sterne in einem Offenen Sternhaufen sind daher in etwa gleich alt. Im Gegensatz zu Kugelsternhaufen sind sie nur lose gravitativ aneinander gebunden, und driften mit der Zeit auseinander, weswegen es nur sehr wenige Offene Sternhaufen gibt, die älter als eine Milliarde Jahre sind. Hier geht es zum Eintrag im Atlas und zu einer Übersicht über weitere Offene Sternhaufen ebendort.

d) Unter welchem anderen Namen ist NGC 6826 noch bekannt? Wie kam dieser planetarische Nebel zu seinem Namen (1)? Gib die visuellen Magnituden von Zentralstern und Nebel an.¶

NGC 6826 (Wikipedia) kennt man auch als "Blinking Planetary", oder "Blinking nebula", wie im Atlas.

Aus dem Wiki-Artikel:

Der Nebel selber blinkt aber nicht. Das Blinken wird von unseren Augen verursacht. Wenn man direkt auf den Zentralstern schaut, überblendet er den Nebel. Schaut man jedoch etwas daran vorbei, kommt der Nebel wieder zum Vorschein.

Aus dem Atlas:

• Column 7: Approximate visual magnitude of the planetary nebula. - $9.5$ mag
• Column 8: Magnitude of the central star of the planetary nebula. - $10.4$ mag

e) Gib zwei Gründe an, warum der Coma-Haufen gut untersucht ist. Zu welchem Superhaufen gehört die Milchstraße?¶

Der Coma-Haufen beherbergt einerseits Tausende Galaxien und ist damit ein ergiebiges Studienobjekt. Andererseits befindet sich der Coma-Haufen weitab der Ebene unserer Milchstraße. So finden sich in der Sichtlinie zu diesem Haufen kaum Gas, Staub oder Vordergrundsterne, die die Messung verunreinigen würden.

Unsere Milchstraße gehört zur Lokalen Gruppe, die wiederum Bestandteil des Virgo-Superhaufens ist, in deren Zentrum sich der namensgebende Virgo-Haufen befindet.

2. Masse eines Kugelsternhaufens¶

a) Berechne die durchschnittliche Radialgeschwindigkeit des Haufens aus der 'This velocity'-Spalte in der im Tabelle aus Peterson and Latham (1986). Berechne dann die Standardabweichung $\sigma_r$ der Radialgeschwindigkeit dieses kleinen Ensemble. Was bedeuten die beiden Werte?¶

Merke: Die Unsicherheit auf die durchschnittliche Geschwindigkeit ist die die Dispersionsgeschwindigkeit!

b) Berechne den Effektivradius $R_e$ des Haufens aus seinem effektiven Winkeldurchmesser von $200''$ und der Distanz des Haufens $D=3.8\,$kpc.¶

Den Radius bekommst du mit der Kleinwinkelnäherung für den Winkeldurchmesser $\mu$ wie folgt:

$R_e = \dfrac{\mu}{2} D$

Achte dabei darauf, dass $\mu$ in Radian gegeben sein muss und $D$ in pc.

c) $\sigma$ nennt man allgemein auch Geschwindigkeitsdispersion. Unter den oben getroffenen Annahmen können wir aus der eindimensionalen Geschwindikeitsdispersion $\sigma_r$ folgern, dass die gesamte Geschwindigkeitsdispersion (in 3D) $\sigma = \sqrt{3}\sigma_r$ beträgt. Warum? Leite die Beziehung kurz her.¶

Die Annahme: "Der Kugelsternhaufen rotiert nicht." sagt uns, dass der Haufen von allen Seiten gesehen gleich aussieht, was die Radialgeschwindigkeiten seiner Sterne angeht. Wir können also folgern, dass $\sigma$ für die übrigen beiden Raumrichtungen (tangentiale Richtung horizontal und vertikal) genauso groß ist wie $\sigma_r$. Also addieren wir die Verktorkomponenten einfach:

$\sigma^2 = \sigma_r^2 + \sigma_h^2 + \sigma_v^2 =3\sigma_r^2$

Wiederholung: Virialsatz¶

Der Virialsatz besagt, dass das zeitliche Mittel der kinetischen Energie $\langle E_\mathrm{kin}\rangle$ eines stabilen in einem Potential gebundenen $N$-Teilchensystems durch

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = - \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N \langle \mathbf{F_i}\cdot\mathbf{r_i}\rangle$ (1)

gegeben ist, wobei $\mathbf{F_i}$ die Kraft ist, die das Potential auf das $i$-te Teilchen am Ort $\mathbf{r_i}$ ausübt.

Im Fall eines Gravitationspotenzials wird die rechte Seite der Gleichung zu

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = -\frac{1}{2} V_\mathrm{pot}$, (2)

wobei $V_\mathrm{pot}$ das Gesamtpotential des Systems ist (Achtung: negativ).

Bonusaufgabe: Leite Gleichung (2) aus Gleichung (1) ab.¶

Beginne mit dem Potential $V_i$ eines Teilchens im System und der zugehörigen Kraft.

Diese Kraft ist in unserem Fall die Summe der Gradienten des Potentials aller anderen Teilchens

$F_i = - m_i\displaystyle\sum_j\dfrac{\partial V_{ij}}{\partial r_{ij}}$

wobei $V_{ij}=-\dfrac{Gm_j}{r_{ij}}$ das Gravitationspotential ist, das Masse $j$ am Ort der Masse $i$ erzeugt, und $r_{ij}$ der Abstand der beiden Massen.

Eingesetzt in die Definition des Virialsatzes erhalten wir:

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N \displaystyle\sum_{j < i}\langle m_i\dfrac{\partial V_{ij}}{\partial r_{ij}}\cdot r_{ij}\rangle$

$j<i$, um die Kräfte nicht doppelt zu zählen. Da der Haufen stabil ist (Annahme), können wir das zeitliche Mittel folgern:

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N \displaystyle\sum_{j < i}\dfrac{Gm_im_j}{r_{ij}^2}\cdot r_{ij}=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N \displaystyle\sum_{j < i}\dfrac{Gm_im_j}{r_{ij}}$

Die Doppelsumme ist die Summe aller potentiellen Energien im System und damit $V_{pot}$:

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = -\frac{1}{2} V_\mathrm{pot}$

d) Berechne die Gesamtmasse von M71 innerhalb von $R_e$.¶

_Tipp: Rechne mit dem Abstand von $R_e/2$ eines typischen Sterns vom Zentrum des Haufens._

Dank des Tipps vereinfachen sich die Summen! Denn wir nehmen ja auch noch an, dass die Sterne alle in etwa die gleiche Masse $m_i$ haben.

Summiert über $j$ und dann über $i$ erhalten wir

$ -\frac{1}{2} V_\mathrm{pot}= -\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N \displaystyle\sum_{j < i}\dfrac{Gm_im_j}{r_{ij}} = \displaystyle\sum_{i=1}^N \dfrac{GMm_i}{R_e} = \dfrac{GM^2}{R_e}$

wobei $M$ auch schon die gesuchte Gesamtmasse des Haufens ist.

Die Dispersionsgeschwindigkeit erlaubt uns $\langle E_\mathrm{kin}\rangle$ zu berechnen:

$\langle E_\mathrm{kin}\rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^N\frac{1}{2}m_i\sigma^2 = \frac{1}{2}M\sigma^2$

Gleichsetzen und nach $M$ auflösen:

$M = \dfrac{\sigma^2 R_e}{2G}$

Verschiebe die Slider unten, um dein Ergebnis abzugleichen:

3. Extragalaktische Entfernungsleiter¶

Die Zentralsterne planetarischer Nebel können so leuchtstark sein wie die hellsten Roten Superriesen einer Galaxie. Ihre Kontinuumsstrahlung hat eine Schwarzkörpertemperatur von $10000\,$K. Diese Strahlung regt die Partikel des sie umgebenden Nebels an. Der Nebel emittiert daraufhin in Spektrallinien (z.B. [OIII] $ \lambda 5007$) im Optischen, wodurch er sich hervorrangend vom Rest der Galaxie abhebt. So stellen planetarische Nebel eine beliebte Sprosse in der extragalaktischen Entfernungsleiter dar, insbesondere, da sie unabhängig vom Galaxientyp anwendbar sind.

a) Worin besteht die Herausforderung extragalaktischer Entfernungsbestimmung? Erkläre kurz das Konzept hinter dem Begriff Entfernungsleiter.¶

Direkte Entfernungsmessungen wie die Parallaxenmethode(1) oder die Sternstromparallaxe versagen bei großen Entfernungen zur Sonne. Eine direkte Entfernungsbestimmung weit entfernter Galaxien ist also nicht möglich. Deshalb bedient man sich einer sogenannten Entfernungsleiter: Man bestimmt zunächst die absoluten Entfernungen naher Galaxien oder von Objekten innerhalb dieser Galaxien, wie z.B. planetarischen Nebeln. Mit Methoden, die relative Entfernungen genügend genau messen, kann dann die Entfernung weiter entfernter Systeme relativ zu nahen Galaxien bestimmt werden. Die Idee der Leiter wird so verständlich. Wir erreichen mit jeder neuen Methode eine neue Distanz, aber wenn eine Sprosse fehlt, kommen wir nicht weiter.

(1) Der Gaia Satellit misst Parallaxen mit einer Unsicherheit von bis zu $0.005$ mas. Die daraus resultierende maximale messbare Entfernung übersteigt die 10 kpc Grenze nur für wenige sehr helle Objekte, wie z.B. Cepheiden.

b) Eine andere Sprosse dieser Leiter ist die Cepheiden-Methode. Erkläre, ähnlich wie im Eingangstext, wie die Methode funktioniert. Gehe dabei auch auf die Physik der Pulsation von Cepheiden ein.¶

Die Cepheiden-Methode basiert auf Perioden-Leuchtkraft-Relation, die Sterne dieses Typs aufweisen. Dabei steigt die Periode der Pulsation mit der Leuchtkraft des Riesen. Grund: Hellere Cepheiden haben ausgedehntere und damit kühlere Atmosphären.

Die $\delta$ Cephei Sterne pulsieren periodisch, d.h. ihre Atmosphären dehnen sich mit recht konstanter Periode aus und ziehen sich wieder zusammen. Dabei wird ionisiertes Helium unter Aufnahme und Abgabe von Strahlung, die die Atmosphäre aufbläht und zusammensacken lässt, durch den welchselnden Druck in der Atmosphäre rekombiniert und wieder ionisiert. Hier eine Skizze zur Feedbackschleife:

Aus dem Lehrbuch:

Damit die Perioden-Leuchkraft-Relation der Cepheiden als gutes Entfernungsmaß benutzt werden kann, muss diese Relation zunächst geeicht werden. [...] Für diesen Zweck eignen sich die Cepheiden der Großen Magellanschen Wolke. Ich beobachte die Cepheiden in der Wolke über eine gewisse Zeit, und bestimme aus der Lichtkurve die Periode. Dann messe ich die scheinbare Helligkeit und bestimme die absolute Helligkeit, weil ich die Distanz ja kenne. Daraus konstruiere ich die Perioden-Leuchtkraft-Beziehung. Wenn ich jetzt einen Cepheiden-Stern in einem anderen Objekt beobachte, benötige ich nur die Periode und kann anhand der nun geeichten Beziehung direkt die Leuchtkraft ablesen. Aus dem Vergleich mit der scheinbaren Helligkeit bekomme ich schließlich die Entfernung.

c) Definiere den Begriff Skalierungsrelation im Kontext extragalaktischer Entfernungsbestimmung.¶

Im Kontext extragalaktischer Entfernungsbestimmung bezeichnen wir Gesetzmäßigkeiten, die es uns ermöglichen, Aussagen über relative Entfernungen von weit entfernten Galaxien zu treffen, als Skalierungsrelationen. Beispiele sind die Tully-Fischer-, die Faber-Jackson-, die $D_n-\sigma$-Relation oder die Fundamentalebene.

d) Wie kann die Tully-Fischer-Relation zur Entfernungsbestimmung genutzt werden? Unterscheide bei der Erklärung zwischen nahegelegenen und weiter entfernten Galaxien.¶

Die Tully-Fischer-Relation kann zur Entfernungsbestimmung von Spiralen benutzt werden. Die maximale Rotationsgeschwindigkeit $v_\mathrm{max}$ von Spiralen korreliert eng mit ihrer Leuchtkraft $L$

$L \sim v_\mathrm{max}^4$

Um die Methode zu verwenden, muss ich also die maximale Rotationsgeschwindigkeit messen. Bei nahegelegenen Galaxien kann ich dazu die räumlich aufgelöste Rotationskurve (siehe Übungen #1) verwenden. Bei weiter entfernten Spiralen messe ich die 21cm-Linie(1) der gesamten Galaxie auf einmal. Sie ist umso breiter, je schneller die Galaxie rotiert.

(1) Barad-dûr?

e) Parallaxenmessung, Cepheiden-Methode und Tully-Fischer-Relation können als drei aufeinanderfolgende Sprossen verstanden werden. Wie hängen sie zusammen?¶

Die Parallaxenmethode ist eine sehr direkte Art der Entfernungsmessung. Sie versagt aber bei großen Distanzen, weil die gemessene Parallaxe kleiner als die Unsicherheit auf den Messwert wird.

In der Großen Magellanschen Wolke ($D\approx50$ kpc) gibt es einige helle $\delta$ Cephei Sterne, deren Entfernung mit der Parallaxenmethode recht genau bestimmt werden kann. So können wir von der Parallaxen-Sprosse auf die Cepheiden-Sprosse aufsteigen.

Nahegelegene Galaxien eignen sich schließlich, um die Tully-Fischer Relation mithilfe der Cepheiden-Distanzen zu eichen. Mit der so erhaltenen Relation können wir wiederum eine Stufe aufsteigen und nun auch die Entfernungen zu weit entfernten Galaxien messen, innerhalb derer wir nicht mehr in der Lage sind, einzelne $\delta$ Cephei aufzulösen, sondern nur Rotationskurven und 21cm-Linien messen können.